فرمولهای تولید عدد پی

فرمول هایی برای تولید عدد پی

عدد گنگ پی یکی از اعداد ویژه ریاضی است که قرن ها ریاضی دانان را به خود مشغول نموده است. این عدد که حاصل تقسیم محیط یک دایره بر طول قطر آن می باشد عددی متعالی است به عبارت دیگر قابل ترسیم نیست. عدد پی تا ۱۰۰ رقم اعشار به صورت زیر است:

 

۳٫۱۴۱۵۹۲۶۵۳۵۸۹۷۹۳۲۳۸۴۶۲۶۴۳۳۸۳۲۷۹۵۰۲۸۸۴۱۹۷۱۶۹۳۹۹۳۷۵۱
۰۵۸۲۰۹۷۴۹۴۴۵۹۲۳۰۷۸۱۶۴۰۶۲۸۶۲۰۸۹۹۸۶۲۸۰۳۴۸۲۵۳۴۲۱۱۷۰۶۷۹

 

 

فرمول های زیادی برای محاسبه و تقریب این عدد به دست آمده است. در ادامه چند مورد از این فرمول ها را می توانید ملاحظه کنید:

---

---

---

---

فرمول والیس

---

 فرمول لرد برونکر

و

 

---

فرمول ویتا

---

فرمول لایب نیتز

 
 

---

فرمول اویلر

   

سوال ریاضی

اگر ABCD مربع باشد و قطر نیم دایره ۲۰cm. مساحت مربع را بدست آورید.

قضیه فیثاغورس و اثبات آن

قضیه فیثاغورس، یکی از قضایای هندسی است که بیان می کند در یک مثلث قائم الزاویه، مجموع مربعات دوضلع قائمه با مربع وتر برابر است. قضیه ی فیثاغورس بسیار پرکاربرد است و در حل بسیاری از مسائل هندسی استفاده می شود؛ در نجوم و ستاره شناسی بسیار کاربرد دارد. قضیه فیثاغورس به احترام دانشمند ریاضیدان و هندسه دان فیثاغورس نام گذاری شده است؛ با این که گفته می شود سال ها پیش از او نیز این قضیه، کشف و استفاده می شده.

محتویات صفحه

تعریف اثبات بررسی لغوی

---

     فضیه فیثاغورس: "در هر مثلث قائم الزاویه، اگر اضلاع قائمه a و b باشند و وتر c باشد. آن گاه رابطه ی همیشه برقرار است." به عبارت دیگر: "در یک مثلث قائم الزاویه مجموع مربعات اضلاع قائمه برابر است با مربع وتر."
     عکس قضیه فیثاغورس: "در هر مثلث با اضلاع a و b و c، اگر ، آن گاه زاویه بین ضلع a و b، قائمه است." به عبارت دیگر: " اگر مجموع مربع دوضلع در یک مثلث با مربع ضلع دیگر برابر بود؛ آن گاه زاویه بین آن دوضلع قائمه است."

---

     برای اثبات قضیه ی فیثاغورس روش های بسیار زیادی وجود دارد به طوری که می توان از آن ها، یک کتابچه ی کوچک درست کرد. ما ساده ترین و زیباترین روش را برای شما در زیر گذاشته ایم؛ با روش زیر همراه باشید.

ابتدا یک مثلث قائم الزاویه با اضلاع a,b,c فرض می کنیم که زاویه بین a و b قائمه باشد.      کنون، چهار مثلث همنهشت با مثلث فرضی را طوری رسم می کنیم که وتر هایشان در امتداد یک دیگر و با زاویه قائمه از هم قرار بگیرند و ضلع c در داخل شکل کلی قرار بگیرد. آن گاه یک چهار ضلعی خواهیم داشت که آن را ABCD می گیریم؛ چون زاویه x و y متمم یک دیگرند و یک زاویه قائمه بین آن ها وجود دارد، پاره خط صاف DC به وجود می آید و چون زوایای A , B , C , D قائمه اند، در نتیجه مربع ABCD را خواهیم داشت.      مجموع مساحت مثلث ها (قسمت های آبی رنگ) به صورت زیر خواهد بود:

همان طور که در عکس مقابل مشاهده می کنید، مربع بزرگ ضلعی به اندازه ی a+b دارد، پس مساحت کل خواهد بود که با استفاده از اتحاد مربع دو جمله ای آن را باز می کنیم. می دانیم که اگر مساحت مربع بزرگ را منهای مجموع مساحت مثلث ها بکنیم، مساحت مربع قرمز خواهد بود و به رابطه ی بین وتر و اضلاع مثلث ها خواهیم رسید. به مراحل زیر دقت کنید.

     و بدین روش، رابطه ی بین اضلاع قائمه ی یک مثلث قائم الزاویه و وترش به دست می آید و قضیه ی فیثاغورس اثبات می شود. همان طور که گفته شد روش های زیادی وجود دارد و تنها این روش نیست.

حل مسئله

حل مسئله

مهارت حل مسئله یک بخش مهم از برنامه ی آموزش ریاضی است.

برای آنکه بتوانید مسائل دشوار را حل کنید، باید بتوانید مسئله را تعریف کنید و طرح یا نقشه ای برای حل آن بریزید. سپس، طرح یا نقشه آماده شده را برای دستیابی به پاسخ، اجرا کنید. هدف نهایی حل مسئله آن است که بتوانید، دانش خود را به صورتی چندگانه، در موقعیتهای جدید به کار ببرید و برای حل مسائل از قبل راههای مؤثر و مبتکرانه بیابید.از راههای متعددی میتوان به حل مسائل پرداخت. شما باید خود را از قید یک راه حل محدود رها کنید و راه حلهای متفاوتی را برای مسائل خود برگزینید.
الگوی حل مسئله:
-مسئله را به دقت بخوانید.
فهرستی از معلوم ها و مجهول ها فراهم آورید-خواسته و سؤال مسئله را مشخص کنید.
-اطلاعات لازم را برای طرح نقشه فراهم آورید.
-اجرای نقشه برای حل مسئله.
اگر مسئله پیچیده است میتوانید آن را به چند جزء قسمت کنید. اگر در راه حل خود با مشکل یا مانعی روبه رو شدید، هراسان نشوید، تلاش کنید راه دیگری را آزمایش کنید.
-پیشنهاد پاسخ برای مسئله
نقشه خود را پیگیری کرده و با انجام محاسبات جوابی برای مسئله پیشنهاد کنید. زمانی که گام ها طی شده را از نو ردگیری میکنید، کارتان بسیار آسان میشود.
-اعمال خود را کنترل کنید.
این گام، شامل بررسی منطقی و عقلانی بودن پاسخی است که آماده کرده اید. اگر در بررسی پاسخ مسئله دیدید که جواب مسئله با «مطلوب» تناسب ندارد، اعمال پیشین خود را یکایک وارسی کنید و برای رسیدن به پاسخ مناسب مجدداً بکوشید.

حکایتی از لقمان حکیم

ﻟﻘﻤﺎﻥ ﺣﮑﯿﻢ ﮔﻮﯾﺪ

ﻟﻘﻤﺎﻥ ﺣﮑﯿﻢ ﮔﻮﯾﺪ: ﺭﻭﺯﯼ ﺩﺭ ﮐﻨﺎﺭ ﮐﺸﺘﺰﺍﺭﯼ ﺍﺯ ﮔﻨﺪﻡ ﺍﯾﺴﺘﺎﺩﻩ بوﺩﻡ؛ ﺧﻮﺷﻪ ﻫﺎﯾﯽ ﺍﺯ ﮔﻨﺪﻡ ﮐﻪ ﺍﺯ ﺭﻭﯼ ﺗﮑﺒﺮ ﺳﺮﺑﺮ ﺍﻓﺮﺍﺷﺘﻪ ﻭ ﺧﻮﺷﻪ ﻫﺎﯼ ﺩﯾﮕﺮﯼ ﮐﻪ ﺍﺯ ﺭﻭﯼ ﺗﻮﺍﺿﻊ ﺳﺮ ﺑﻪ ﺯﯾﺮ ﺁﻭﺭﺩﻩ ﺑﻮﺩﻧﺪ ﻧﻈﺮﻡ ﺭﺍ ﺑﻪ ﺳﻮﯼ ﺧﻮﺩ ﺟﻠﺐ ﻧﻤﻮﺩﻧﺪ ﻭ ﻫﻨﮕﺎﻣﯽ ﮐﻪ ﺁﻥ ﻫﺎ ﺭﺍ ﻟﻤﺲ ﻧﻤﻮﺩﻡ، ﺑﺴﯿﺎﺭ ﺗﻌﺠﺐ ﻧﻤﻮﺩﻡ؛ ﺧﻮﺷﻪ ﻫﺎﯼ ﺳﺮﺑﺮ ﺍﻓﺮﺍﺷﺘﻪ ﺭﺍ ﺧﺎﻟﯽ ﺍﺯ ﺩﺍﻧﻪ ﻭ ﺧﻮﺷﻪ ﻫﺎﯼ ﺳﺮ ﺑﻪ ﺯﯾﺮ ﺭﺍ ﭘﺮ ﺍﺯ ﺩﺍﻧﻪ ﻫﺎﯼ ﮔﻨﺪﻡ ﯾﺎﻓﺘﻢ. ﺑﺎ ﺧﻮﺩ ﮔﻔﺘﻢ: ﺩﺭ ﮐﺸﺘﺰﺍﺭ ﺯﻧﺪﮔﯽ ﻧﯿﺰ ﭼﻪ ﺑﺴﯿﺎﺭﻧﺪ ﺳﺮﻫﺎﯾﯽ ﮐﻪ ﺑﺎﻻ ﺭﻓﺘﻪ ﺍﻧﺪ ﺍﻣﺎ ﺩﺭﺣﻘﯿﻘﺖ ﺧﺎﻟﯽ ﺍﻧﺪ...

ﺩﻭﺩ ﺍﮔﺮ ﺑﺎﻻ ﻧﺸﯿﻨﺪ ﮐﺴﺮ ﺷﺄﻥ ﺷﻌﻠﻪ ﻧﯿﺴﺖ
ﺟﺎﯼ ﭼﺸﻢ ﺍﺑﺮﻭ ﻧﮕﯿﺮﺩ ﮔﺮ ﭼﻪ ﺍﻭ ﺑﺎﻻﺗﺮ ﺍﺳﺖ

ﺷﺼﺖ ﻭ ﺷﺎﻫﺪ ﻫﺮ ﺩﻭ ﺩﻋﻮﺍﯼ ﺑﺰﺭﮔﯽ می کنند
ﭘﺲ ﭼﺮﺍ ﺍﻧﮕﺸﺖ ﮐﻮﭼﮏ ﻻﯾﻖ ﺍﻧﮕﺸﺘﺮ ﺍﺳﺖ؟

ﺁﻫﻦ ﻭ ﻓﻮﻻﺩ ﺍﺯ ﯾﮏ ﮐﻮﺭﻩ ﻣﯽ ﺁﯾﻨﺪ ﺑﺮﻭﻥ
ﺁﻥ ﯾﮑﯽ ﺷﻤﺸﯿﺮ ﮔﺮﺩﺩ، ﺩﯾﮕﺮﯼ ﻧﻌﻞ ﺧﺮ ﺍﺳﺖ

ﮔﺮ ببینی ﻧﺎﮐﺴﺎﻥ ﺑﺎﻻ ﻧﺸﯿﻨﻨﺪ ﺻﺒﺮ ﮐﻦ
ﺭﻭﯼ ﺩﺭﯾﺎ ﮐﻒ ﻧﺸﯿﻨﺪ، ﻗﻌﺮ ﺩﺭﯾﺎ ﮔﻮﻫﺮ ﺍﺳﺖ