قضیه فیثاغورس و اثبات آن

قضیه فیثاغورس، یکی از قضایای هندسی است که بیان می کند در یک مثلث قائم الزاویه، مجموع مربعات دوضلع قائمه با مربع وتر برابر است. قضیه ی فیثاغورس بسیار پرکاربرد است و در حل بسیاری از مسائل هندسی استفاده می شود؛ در نجوم و ستاره شناسی بسیار کاربرد دارد. قضیه فیثاغورس به احترام دانشمند ریاضیدان و هندسه دان فیثاغورس نام گذاری شده است؛ با این که گفته می شود سال ها پیش از او نیز این قضیه، کشف و استفاده می شده.

محتویات صفحه

تعریف اثبات بررسی لغوی

---

     فضیه فیثاغورس: "در هر مثلث قائم الزاویه، اگر اضلاع قائمه a و b باشند و وتر c باشد. آن گاه رابطه ی همیشه برقرار است." به عبارت دیگر: "در یک مثلث قائم الزاویه مجموع مربعات اضلاع قائمه برابر است با مربع وتر."
     عکس قضیه فیثاغورس: "در هر مثلث با اضلاع a و b و c، اگر ، آن گاه زاویه بین ضلع a و b، قائمه است." به عبارت دیگر: " اگر مجموع مربع دوضلع در یک مثلث با مربع ضلع دیگر برابر بود؛ آن گاه زاویه بین آن دوضلع قائمه است."

---

     برای اثبات قضیه ی فیثاغورس روش های بسیار زیادی وجود دارد به طوری که می توان از آن ها، یک کتابچه ی کوچک درست کرد. ما ساده ترین و زیباترین روش را برای شما در زیر گذاشته ایم؛ با روش زیر همراه باشید.

ابتدا یک مثلث قائم الزاویه با اضلاع a,b,c فرض می کنیم که زاویه بین a و b قائمه باشد.      کنون، چهار مثلث همنهشت با مثلث فرضی را طوری رسم می کنیم که وتر هایشان در امتداد یک دیگر و با زاویه قائمه از هم قرار بگیرند و ضلع c در داخل شکل کلی قرار بگیرد. آن گاه یک چهار ضلعی خواهیم داشت که آن را ABCD می گیریم؛ چون زاویه x و y متمم یک دیگرند و یک زاویه قائمه بین آن ها وجود دارد، پاره خط صاف DC به وجود می آید و چون زوایای A , B , C , D قائمه اند، در نتیجه مربع ABCD را خواهیم داشت.      مجموع مساحت مثلث ها (قسمت های آبی رنگ) به صورت زیر خواهد بود:

همان طور که در عکس مقابل مشاهده می کنید، مربع بزرگ ضلعی به اندازه ی a+b دارد، پس مساحت کل خواهد بود که با استفاده از اتحاد مربع دو جمله ای آن را باز می کنیم. می دانیم که اگر مساحت مربع بزرگ را منهای مجموع مساحت مثلث ها بکنیم، مساحت مربع قرمز خواهد بود و به رابطه ی بین وتر و اضلاع مثلث ها خواهیم رسید. به مراحل زیر دقت کنید.

     و بدین روش، رابطه ی بین اضلاع قائمه ی یک مثلث قائم الزاویه و وترش به دست می آید و قضیه ی فیثاغورس اثبات می شود. همان طور که گفته شد روش های زیادی وجود دارد و تنها این روش نیست.